О выражении для логистической кривой

Размещено на сайте 28.04.2009.

 

 

Комсомолький-на-Амуре государственный технический университет

Логистическая кривая представляет собой математическую модель, которая используется для описания изменения во времени главного параметра при развитии системы в соответствии с законом S-образного развития.

Предлагаемый материал инициирован докладом Дмитрия Кучерявого на конференции “TRIZ Future 2007” /1/. В этом докладе предлагалось следующее аналитическое выражение для логистической кривой.

(1)

где М определяет максимальное значение логистической кривой,

«a» и «b» определяет положение кривой по оси абсцисс и ширину среднего участка кривой.

Представленное выражение для логистической кривой достаточно неудобно для практического применения, это в первую очередь относится к параметрам «a» и «b».

Во-первых, эти параметры только косвенно связаны с положением кривой на оси абсцисс.

Во-вторых, параметр «а» имеет размерность обратную времени, а параметр «в» безразмерный, удобнее иметь временную размерность того и другого параметра.

В-третьих, от обоих параметров зависят и положение кривой на оси абсцисс и её ширина.

Предлагается преобразовать выражение при экспоненте к более удобному, с точки зрения практического применения, виду.

При выводе выражения, в качестве предметной области было использовано эволюция систем технического зрения. Следует отметить, что в качестве предметной могла быть выбрана эволюция любой технической системы, но система технического зрения как раз была в поле внимания.

Итак, система технического зрения /2/. В качестве главного производственного параметра выбираем «Степень сложности распознаваемого объекта». Несколько замечаний для пояснения этого параметра.

Сначала остановимся на яркостно-координатной характеристике изображения. Под это характеристикой будем понимать значение степени яркости в каждой точке изображения. Рассмотрим простейший пример монохромного изображения (рисунок 1)

         
         
         
         
         
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 0 1 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 0

Рисунок 1 – Монохромное изображение и его яркостно-координатная характеристика

Каждую строку яркостно-координатной характеристики можно представить в виде графика дискретной функции (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графики дискретной яркостно-координатной функции при фиксированных значениях координаты Y: а) Y=1, б) Y=3

Для оценки сложности изображения будем использовать наибольшее количество положительных фронтов. Под положительным фронтом будем понимать возрастание дискретной яркостно-координатной функции. Так, на рисунке 2а число положительных фронтов функции равно 1, а на рисунке 2б – 2. В качестве примера попробуем оценить сложность фигур представленных на рисунке 3. Круг и квадрат (рис. 3а и 3б) имеет равное число положительных фронтов, соответственно, они имеют равную сложность для распознания. Фигура на рисунке 3в и 3г имеют большее число положительных фронтов, и соответственно сложнее для распознавания.

Рисунок 3 – К оценке сложности различных фигур

Следует отметить, что при оценке «степени сложности распознаваемого объекта», необходимо таким образом разместить объект (фигуру), относительно линии сканирования, чтобы число положительных фронтов было максимальным.

Для построения S-образной кривой выберем объекты распознавания, наиболее характерные для определённых годов /2/ и оценим значения главного производственного параметра (ГПП) систем технического зрения по максимальной сложности этих объектов (таблица 1). На основании данных таблицы построим график (рисунок 4).

Таблица 1 – Значения ГПП для объектов распознавания по годам /2/

Год Объект ГПП
1950 Простейшие геометрические фигуры (круги, квадраты) 3
1960 Печатные буквы 4
1970 Отпечатки пальцев 35
1980 Рельеф поверхности космических объектов 50
1990 Радужная оболочка глаза 266
2000 Рисунок сетчатки глаза 400

Рисунок 4 – Значения ГПП системы по годам

Для простоты последующего анализа перейдём от временного параметра к условным единицам, используя формулу (2).

(2)

где X – значение аргумента в условных единицах,

Year – значение аргумента в годах.

Проведём аппроксимацию значений ГПП функцией (1) для чего воспользуемся функцией genfit(X,Y,N,F) программы MathCAD v13. Параметры функции genfit(X,Y,N,F) имеют следующий смысл:

X – вектор значений аргументов функции ГПП;

Y – вектор значений ГПП;

N – вектор точек начального приближения;

F – вектор с известными выражениями аппроксимирующей функции (сама функция и её частные производные по каждому параметру).

Для нашего случая эти параметры имеют следующий вид:

Для этих параметров, функция genfit(X,Y,N,F) даёт следующие значения параметров аппроксимирующей функции:

M = 424.035, a = 2.348, b = -8.895.

Построим график этой функции и изобразим на нём значения ГПП (рисунок 5).

Рисунок 5 – График логистической кривой

Используя стандартный подход, разделим S–кривую на три характерных участка. Первый пологий участок – этап «детства» (этап «вживания» родившейся системы в свое окружение); второй быстро растущий – этап «зрелости» (этап бурного роста и использования имеющихся ресурсов); третий, снова пологий, – этап «старости» (этап исчерпания ресурсов системы).

Параметры a и b функции (1) не определяют однозначно границы этих этапов. Попробуем отыскать такие параметры, которые будут это делать. Для этого найдём середину интервала «зрелости» и его границы, проведя исследование функции (1) с параметрами М=10, a=0.6, b=-10 (параметры выбраны исходя из того, что на графике такой функции хорошо видны границы участков). График функции изображён на рисунке 6.

Рисунок 6 – График исследуемой функции

Как видно из графика, серединой интервала «зрелости» является точка перехода функции от интервала вогнутости к интервалу выпуклости. Для нахождения значения этой точки найдём корни второй производной исследуемой функции. Формула второй производной имеет вид (3), её график изображён на рисунке 7.

(3)

Рисунок 7 – График второй производной функции

Корень функции (3) относительно х равен . Таким образом, точка определяет положение середины интервала «зрелости». Обозначим параметр, отвечающий за середину интервала «зрелости» через С.

(4)

Определим границы интервала «зрелости». Предположим, что границами являются такие точки, в которых касательная имеет угол наклона к оси абсцисс 45о. Для нахождения этих точек решим уравнение (5).

(5)

Решение этого уравнения при М=10, a=0.6, b=-10 имеет следующий вид:

,

Изобразим точки, соответствующие полученному решению на графике функции (рисунок 8).

Рисунок 8 – График исследуемой функции с найденными точками

Как видно из графика, найденные точки находятся слишком близком к середине интервала «зрелости», следовательно, не подходят. Скорее всего, искомые границы находятся в интервалах [10,13] и [20, 23].

Продолжим исследование функции. Проведём визуальный анализ графиков третьей и последующих производных функции. На рисунках 9-10 представлены графики третьей и четвёртой производных функции соответственно.

Рисунок 9 – График третьей производной функции

Рисунок 10 – График четвёртой производной функции

Как видно из графиков у третьей производной в исследуемых интервалах особых точек нет, зато у четвёртой производной можно наблюдать локальные экстремумы. Чтобы найти их нужно найти корни пятой производной, формула которой имеет вид (6)

(6)

Корни вычисляются по следующим формулам: для левой (7) и для правой (8) точкам.

(7)

(8)

И имеют следующие значения 11.426135989742 и 21.907197343592 соответственно. Изобразим эти точки на графике вместе с исходной функцией (рисунок 11).

Рисунок 11 – График функции с предполагаемыми границами

Значения вторых слагаемых в числителях выражений (7) и (8) с точностью до третьего знака представляет собой число π (расхождение составляет 0.00272). При этом следует иметь ввиду, что в выражении (7) π со знаком плюс, а в (8) со знаком минус. Факт близости к значению π вызвал интерес, поэтому исследование функции было продолжено. На рисунках 12-15 представлены графики пятой и последующих производных функции соответственно.

Рисунок 12 – График пятой производной функции

Рисунок 13 – График шестой производной функции

Рисунок 14 – График седьмой производной функции

Рисунок 15 – График восьмой производной функции

На графике восьмой производной были найдены локальные экстремумы в точках, очень близких к точкам найденным для четвертой производной. Вычислим их, для этого найдем корни девятой производной. Они вычисляются по следующим формулам: для левой точки (9) и для правой (10). Формулы приведены после необходимых преобразований:

(9)

(10)

В нашем случае это 11.431014042025 и 21.902319291309 соответственно. Значения вторых слагаемых в числителе выражений (9) и (10) с точностью до четвертого знака представляет собой число π (расхождение составляет 0.000201). Как видим, разница с числом π уменьшилась, поэтому продолжим исследование функции. На рисунках 16-19 представлены графики девятой и последующих производных функции соответственно.

Рисунок 16 – График девятой производной функции

Рисунок 17 – График десятой производной функции

Рисунок 18 – График одиннадцатой производной функции

Рисунок 19 – График двенадцатой производной функции

На графике двенадцатой производной были найдены локальные экстремумы в точках, очень близких к точкам найденным для четвертой и восьмой производных. Вычислим их, для этого найдем корни тринадцатой производной. Они вычисляются по следующим формулам: для левой точки (11) и для правой (12).

(11)

(12)

В нашем случае это 11.430676923537 и 21.902656409796 соответственно. Значение вторых слагаемых в числителях выражений (11) и (12) с точностью до шестого знака представляет собой число π (расхождение составляет 0.000001192288).

Проведенное исследование даёт нам право судить о том, что в пределе формулы для вычисления границ будут иметь вид (13) и (14).

(13)

(14)

Тогда ширина участка «зрелости», определяемая как разница между этими значениями, будет вычисляться по формуле (15):

(15)

Заменим параметры a и b в функции (1) на параметры C и S,

(16)

где М – по-прежнему, максимальное значение функции,

C – середина интервала «зрелости»,

S – ширина этого интервала.

Причём параметры C и S определяются по следующим выражениям

(17)

(18)

Вернёмся к исходной системе технического зрения. Так как для этой системы a = 2.348 и b=-8.895, то в соответствии с (4) и в соответствии с (15) . Округлив вычисленные значения до третьего знака, получим C= 3.787 и S= 2.675. Для визуального контроля, решим обратную задачу: по значениям C и S используя (17) и (18), вычислим границы и . Нанесём эти границы на график (рисунок 20).

Рисунок 20 – График логистической кривой с исходными точками и границами интервалов

Как видно из рисунка, границы этапа «зрелости» расположены адекватно.

Определим значения логистической кривой, соответствующие точкам перегиба. Для удобства, определим эти значения при М=1. Итак, отступая от центра логистической кривой (С) влево и вправо по временной оси на половину ширины интервала «зрелости» (S/2) получим значения точек перегиба:

,

.

Проведём аппроксимацию значений ГПП системы технического зрения, используя предложенные выше параметры логистической кривой. Также как и ранее будем использовать функцию genfit(X,Y,N,F) программы MathCAD v13. Зададим состав элементов, входящих в эту функцию:

Получим следующие значения аппроксимирующей функции:

M = 424,132, C = 3,788, S = 2,678

Построим график этой функции и изобразим на нём значения ГПП (рисунок 21).

Рисунок 21 – График логистической кривой

В результате сравнения графиков (рисунок 5 и рисунок 21) видно, что они практически одинаковы. Отличие в верхней границе (значение параметра М = 424, 035 для первого графика и М = 424,132 для последнего графика) составляет 0,023%.

Вывод.

Проведённый анализ выражения для логистической кривой позволил предложить выражение для её описания, содержащее, в качестве параметров, значений середины и ширины возрастающего участка этой кривой и её максимальное значение. Этот набор параметров более нагляден и удобен для анализа развития системы. Кроме того определены точки переходов с этапа на этап равные соответственно 4,1% и 95,9% от максимального значения кривой.

Список использованных источников

1 Kucharavy D., De Guio R. “Application of S-shaped Curve”. Proceedings of the TRIZ Future Conference Frankfurt (Germany) 81-88, November 06-08, 2007.

2. Зачем компьютеру зрение. Юрий Морзеев //КомпьютерПресс. – 2002 - №5

В тексте сохранены авторская орфография и пунктуация.


Алфавитный указатель: 

Рубрики: 

Subscribe to Comments for "О выражении для логистической кривой"